EXERCICE DE GYROSCOPIE

	CONTENU : Mis à jour décembre 2000, sept 2011 MOUVEMENT DE POINSOT DE LA TERRE

Nous considérerons en première approximation que la Terre a un mouvement de Poinsot . Nous faisons les hypothèses suivantes:

1°) La Terre est un solide.

2°) Ce solide est de révolution autour de l'axe Nord - Sud ( Cette hypothèse n'est pas nécessaire pour le mouvement de Poinsot ).

C désignera le moment d'inertie axial

A désignera le moment d'inertie transverse

On donne :

3°) Le torseur des forces de gravitation dues à l'action du Soleil est un glisseur au centre d'inertie de la Terre. Pour cela la perturbation due à l'aplatissement terrestre est négligée dans les effets de gravitation.

GXTYTZT désigne un repère lié à la Terre avec ZT axe Nord - Sud.

QUESTION

W = W(Terre/Ra) est le vecteur rotation absolue de la Terre par rapport aux étoiles dans son mouvement le plus général.

Calculer la période de rotation du vecteur W dans son mouvement rapporté à la Terre.

On pourra écrire les équations d'Euler reliant les composantes p, q, r de la rotation en axes satellite, et poser une nouvelle variable Z = p + iq

SOLUTION

1°)Equations d'Euler

Le théorème du moment cinétique appliqué à S en G, avec un moment des forces extérieures nul, donne, en projection sur les axes liés à la terre:

Compte tenu de A = B ( symétrie de révolution), r = ro = cste = 1t/jour sidéral de 86164 secondes.

Avec la combinaison complexe (1) + i (2) nous obtenons l'équation d'évolution simple suivante:

La solution est :

2°) Interprétation

L'extrémité du vecteur d'affixe Z décrit un cercle de centre O, origine des axes et de rayon |Zo| = wo, la rotation transversale.

Ce mouvement est bien rapporté au repère lié à la terre et donc la période en est :

Application numérique: La période du mouvement du mouvement du vecteur rotation de la Terre, relativement à la base liée à la Terre est

T = 330 jours

Remarque: Les hypothèses rendent donc assez bien compte de la réalité du phénomène réel à 70 jours près. La Terre n'étant pas un vrai solide (Océans et marée, couches internes visqueuses .....) cela pourrait expliquer la différence.

Guiziou Robert décembre 2000, sept 2011

Version Word 97 nommée Poinsot Terre.doc